O echipă de matematicieni a făcut un pas mare spre a răspunde la o întrebare de 160 de ani în valoare de matematică?
Poate. Echipajul a rezolvat o serie de alte întrebări mai mici într-un domeniu numit teoria numerelor. Și făcând acest lucru, ei au redeschis o veche cale care ar putea duce în cele din urmă la un răspuns la vechea întrebare: Este corectă ipoteza Riemann?
Ipoteza Reimann este o conjectură matematică fundamentală care are implicații uriașe pentru restul matematicii. Acesta constituie temelia pentru multe alte idei matematice - dar nimeni nu știe dacă este adevărat. Valabilitatea sa a devenit una dintre cele mai cunoscute întrebări deschise în matematică. Este una dintre cele șapte „Probleme ale mileniului” prezentate în 2000, cu promisiunea că cine le va rezolva va câștiga 1 milion de dolari. (De atunci, una dintre probleme a fost rezolvată.)
De unde a venit această idee?
În 1859, un matematician german pe nume Bernhard Riemann a propus un răspuns la o ecuație matematică deosebit de spinoasă. Ipoteza lui merge astfel: Partea reală a fiecărui zero non-banal al funcției zeta Riemann este 1/2. Aceasta este o afirmație matematică destul de abstractă, având în vedere ce numere puteți pune într-o anumită funcție matematică pentru ca funcția respectivă să fie egală cu zero. Dar se pare că contează foarte mult, cel mai important în ceea ce privește întrebările despre cât de des veți întâlni numere prime pe măsură ce vă numărați până la infinit.
Vom reveni mai târziu la detaliile ipotezei. Dar importantul de știut acum este că, dacă ipoteza Riemann este adevărată, răspunde la o mulțime de întrebări în matematică.
"La fel de des în teoria numerelor, ceea ce sfârșește să se întâmple este dacă îți asumi ipoteza Riemann, atunci poți dovedi tot felul de alte rezultate", a spus Lola Thompson, teoreticianul numerelor de la Colegiul Oberlin din Ohio, care nu a fost implicat. în această ultimă cercetare, a spus.
Deseori, a spus ea la Live Science, teoreticienii numerelor vor dovedi mai întâi că ceva este adevărat dacă ipoteza Riemann este adevărată. Apoi vor folosi această dovadă ca un fel de piatră de pas către o dovadă mai complexă, care arată că concluzia lor inițială este adevărată, indiferent dacă este sau nu ipoteza Riemann.
Faptul că acest truc funcționează, a spus ea, îi convinge pe mulți matematicieni că ipoteza Riemann trebuie să fie adevărată.
Dar adevărul este că nimeni nu știe sigur.
Un mic pas către o dovadă?
Deci, cum a părut această mică echipă de matematicieni să ne apropie de o soluție?
„Ceea ce am făcut în lucrarea noastră”, a spus Ken Ono, un teoretician al Universității Emory și co-autor al noii probe, „am revizuit un criteriu foarte tehnic, echivalent cu ipoteza Riemann… și am dovedit un număr mare o parte din ea. Am dovedit o bucată mare din acest criteriu. "
Un „criteriu echivalent cu ipoteza Riemann”, în acest caz, se referă la o afirmație separată care este matematic echivalentă cu ipoteza Riemann.
La prima vedere nu este evident de ce cele două enunțuri sunt atât de conectate. (Criteriul are legătură cu ceva numit „hiperbolicitatea polinoamelor Jensen.”) Dar în anii 1920, un matematician maghiar pe nume George Pólya a dovedit că, dacă acest criteriu este adevărat, atunci ipoteza lui Riemann este adevărată - și invers. Este un vechi traseu propus spre dovedirea ipotezei, dar una care a fost în mare parte abandonată.
Ono și colegii săi, într-o lucrare publicată pe 21 mai în revista Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), au dovedit că în multe, multe cazuri, criteriul este adevărat.
Dar la matematică, multe nu sunt suficiente pentru a conta ca dovadă. Există încă unele cazuri în care nu știu dacă criteriul este adevărat sau fals.
"Este ca și cum ai juca un Powerball cu un număr de milioane", a spus Ono. "Și știți toate numerele, dar ultimele 20. Dacă chiar și unul dintre ultimele 20 de numere este greșit, pierdeți ... Ar putea totuși să se destrame."
Cercetătorii ar trebui să prezinte o dovadă și mai avansată care să demonstreze că criteriul este adevărat în toate cazurile, dovedind astfel ipoteza Riemann. Și nu este clar cât de departe este o astfel de dovadă, a spus Ono.
Deci, cât de mare este această lucrare?
În ceea ce privește ipoteza Riemann, este greu de spus cât de mare este această afacere. Depinde mult de ceea ce se întâmplă în continuare.
"Aceasta este doar una dintre multe formulări echivalente ale ipotezei Riemann", a spus Thompson.
Cu alte cuvinte, există o mulțime de alte idei care, precum acest criteriu, ar dovedi că ipoteza Riemann este adevărată dacă ele însele ar fi fost dovedite.
"Deci, este cu adevărat greu de știut cât de mult este acest progres, pentru că, pe de o parte, s-au făcut progrese în această direcție. Dar, există atât de multe formulări echivalente încât poate că această direcție nu va genera ipoteza Riemann. Poate una dintre celelalte teoreme echivalente în schimb vor, dacă cineva poate dovedi unul dintre acestea ", a spus Thompson.
Dacă dovada apare pe această cale, atunci asta va însemna probabil că Ono și colegii săi au dezvoltat un cadru important pentru rezolvarea ipotezei Riemann. Dar dacă apare în altă parte, atunci această lucrare se va dovedi a fi mai puțin importantă.
Totuși, matematicienii sunt impresionați.
"Deși acest lucru rămâne departe de a demonstra ipoteza Riemann, este un mare pas înainte", a scris Encrico Bombieri, un teoretician al numărului Princeton care nu a fost implicat în cercetarea echipei, într-un articol însoțitor din 23 mai. "Nu există nici o îndoială că această lucrare va inspira lucrări fundamentale suplimentare în alte domenii ale teoriei numerelor, precum și în fizica matematică."
(Bombieri a câștigat o medalie Fields - cel mai prestigios premiu în matematică - în 1974, în mare parte pentru munca legată de ipoteza Riemann.)
Ce înseamnă oricum ipoteza Riemann?
Am promis că vom reveni la asta. Iată din nou ipoteza Riemann: Partea reală a fiecărui zero non-banal al funcției zeta Riemann este 1/2.
Haideți să o descompunem în funcție de cum au explicat Thompson și Ono.
În primul rând, care este funcția zie Riemann?
În matematică, o funcție este o relație între diferite cantități matematice. Un simplu ar putea arăta astfel: y = 2x.
Funcția zie Riemann urmează aceleași principii de bază. Numai că este mult mai complicat. Iată cum arată.
Este o sumă a unei secvențe infinite, în care fiecare termen - primii câțiva sunt 1/1 ^ s, 1/2 ^ s și 1/3 ^ s - se adaugă la termenii precedenți. Aceste elipse înseamnă că seria din funcție continuă astfel, pentru totdeauna.
Acum putem răspunde la a doua întrebare: Care este un zero al funcției zeta Riemann?
Acest lucru este mai ușor. Un „zero” al funcției este orice număr pe care îl puteți introduce pentru x care face ca funcția să fie egală cu zero.
Următoarea întrebare: Care este „partea reală” a unuia dintre acele zerouri și ce înseamnă că este egal cu 1/2?
Funcția zeta Riemann implică ceea ce matematicienii numesc „numere complexe”. Un număr complex arată astfel: a + b * i.
În această ecuație, „a” și „b” reprezintă orice număr real. Un număr real poate fi orice, de la minus 3, la zero, la 4.9234, pi sau 1 miliard. Dar există un alt tip de număr: numere imaginare. Numerele imaginare apar atunci când luați rădăcina pătrată a unui număr negativ și sunt importante, care apar în toate tipurile de contexte matematice.
Cel mai simplu număr imaginar este rădăcina pătrată a -1, care este scrisă ca „i”. Un număr complex este un număr real („a”) plus un număr real („b”) de ori i. „Partea reală” a unui număr complex este aceea că „a”.
Câteva zerouri ale funcției zeta Riemann, numere întregi negative între -10 și 0, nu contează pentru ipoteza Reimann. Acestea sunt considerate zerouri „banale”, deoarece sunt numere reale, nu numere complexe. Toate celelalte zerouri sunt numere „triviale” și complexe.
Ipoteza Riemann afirmă că atunci când funcția zeta Riemann traversează zero (cu excepția acelor zerouri cuprinse între -10 și 0), partea reală a numărului complex trebuie să fie egală cu 1/2.
S-ar putea ca această mică afirmație să nu pară foarte importantă. Dar asta este. Și s-ar putea să fim doar mai puțini mai aproape de rezolvarea lui.
